北京时间3月21日上午，加拿大滑铁卢大学的数学家Craig Kaplan在数学社交平台Mathstodon上宣布，他与几名其他研究者共同找到了一个非周期(aperiodic)的单密铺形状，被称为“一块石头”（来自于德语“einstein”，也是爱因斯坦的姓氏）！
（Craig Kaplan在Mathstodon上的帖子截图）
长久以来，“密铺”是数学中一个流行的、让数学爱好者积极参与的领域，被分为两大类型：周期型和非周期型。2015年，数学家使用计算机发现了第15种也是最后一种可以进行周期型密铺的五边形，从而找到了全部的周期性单密铺多边形，其中“单密铺”是指只使用一种形状。
(全部15种可以密铺的五边形)
关于非周期型密铺，上一次重大的发现要追溯到1974年，数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）发现的“彭罗斯镶嵌”（Penrose tiling），它是使用2种形状的非周期镶嵌。
这里有必要解释一下什么是“非周期”。有两个容易混淆的概念：non-periodic和aperiodic，它们又都被翻译为“非周期”。
non-periodic是一种条件很宽松的“非周期”，它的意思是从密铺图形中，无法找出一块更大的"基础板块"，使得整个图形可以用平移基础板块的方式复制出来。
下图，就是一种“non-periodic”密铺：
中间的两个小三角显然破坏了周期性，你无法找到某个由三角形和正方形的图形进行平移复现整个图形。但这种密铺显然是非常无趣的。为了规避这种情况，数学家提出了aperiodic概念，它是一种要求更为严格的非周期性。
简单来说，它的意思是用图形中的形状只可能进行非周期密铺，而无法进行周期性密铺。比如对上图中出现的正方形和三角形，显然可以组合出如下形状进行周期性密铺，
而对彭罗斯镶嵌，你则找不出任何组合，可以进行周期性密铺！所以，对“aperiodic"，“非周期”是一种必要性：只能进行非周期密铺，而无法通过重组，进行周期性的密铺。
（另一种艺术化的彭罗斯镶嵌）
长久以来，人们对是否存在单个形状的“非周期”（以下未经说明，所有的“非周期”都是指“aperiodic”）密铺存怀疑态度。又因为最早此问题出现在德语文献中，这种未知的形状被称为“einstein”，意思是“一块石头”。
此次，数学家终于找到了“一块石头”！
要注意的是，在这个密铺中，用到了“翻转”。如果你仔细观察，图中深蓝色的版块是其他颜色的版块翻转所得。数学家已经证明，如果只允许平移，且不允许翻转的话，是不存在非周期性单密铺的。所以，本次结果是理论上的最好结果。唯一剩下的问题是，如果不允许翻转，但允许平移和旋转的话，是否存在这种单密铺？但无论如何，本次发现是一项大发现，可喜可贺！
此外，对于非周期性密铺，除了数学上的研究和探索外，还有许多应用。比如在物理学中，非周期性结构在研究凝聚态物质的电子结构、声子结构等方面具有重要意义；在材料学中，非周期性结构可以用于设计新型材料的结构和性能等。因此，这一发现不仅在数学上有意义，在其他学科领域也具有潜在的应用价值。
注：虽然目前的结果只发表在论文预印本网站上（https://arxiv.org/abs/2303.10798），尚未通过同行评议，但鉴于此结论具有“所见即所得”的特性，所以极大可能是正确的。敬请关注后续报道。