追求完整的无理数：挑战手机计算器的极限

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无理数是不能表示为两个整数之比的数，似乎有些“不讲道理”。很多无理数可以通过基础运算变成有理数或整数，而有些则无论怎样努力都不能变“完整”。本文介绍一个无理数，它本身即为三个无理数的组合，研究人员通过一个复杂的公式运算也只能得到它的近似值。但更重要的是，我们可以通过手机计算器来验证！

撰文 | 姬扬（中国科学院半导体研究所）

我们都知道，无理数（irrational number）“不讲理”。按整数标准，它们大多身形残缺，但是它们中间有很多数很有理想，总是想追求完整：有的是靠自己，有的是靠同志。

比如说，是无理数，可能也是无理数，但是就是整数了，而且它很“2”。

再比如说，自然常数e和圆周率π都是无理数，但是只需要一个虚数的帮助，它们就可以变成整数：e^iπ=-1；结果是个负整数，它还不够“2”，否则就会有e^2iπ=1。

当然，不是所有的努力都能够功德完满。自然常数e、圆周率π和163的平方根（），它们也努力过追求完整，可惜就差了那么一点点，很小的一点点。

多小的一点点呢？

它跟整数的差别在于小数点后第13位，也就是说，小数点后经过了12个9，才变成了2。

为什么这样呢？这里面有一套很复杂的数学理论，我也看不懂，但是可以引用一个公式：

它是否正确，我们可以用计算器检验一下。

手机的计算器很强大，特别是它的科学计算器模式。例如它可以轻松地把圆周率π的值算到小数点后一百位。

为了便于大家亲自检验，我会介绍详细的操作过程。首先，打开手机自带的计算器（我的手机是华为P30），它有两个模式——竖版的“标准计算器”和横版的“科学计算器”，可以任意地选择切换。

进入“科学计算器”，就自动切换到横版，上方是两行的显示屏，下方是键盘。按“π”键，π就出现在显示屏的第一行，同时在第二行显示出它的数值，“3.1415...1971”。这一行可以显示42个数字或字符。通过触屏操作，我们可以对数字进行复制粘贴操作。

现在，我们来验证手机自带的π究竟算到了多少位。用π减去刚才得到的42位数字，即“π-3.1415…1971”。

按键盘的减号键“-”，显示屏的第一行就变为“π-”。用手指按第一行，会出现一个阴影区覆盖了所有的数字，同时出现两个键“复制”和“粘贴”；选择“粘贴”（注意，要保证光标位于这一行的最右边），就可以得到结果。

继续同样的操作，可以得到更多的位数。

从菜单里选择“历史纪录”，可以找到以前做的计算，比如说我刚做的把π算到100位。

算得对不对呢，我从网上找了π值小数点后200位，如下：

π= 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 。

跟上面的图片对照一下就可以看到，手机计算器的结果有115位小数，全部正确。使用这一方法显然还可以算更多位，但是究竟能算多少位，我没有试验，毕竟用手机操作复制和粘贴太麻烦了。

值得一提的是，这个表现比我的PC电脑系统附带的计算器厉害。利用类似的操作，PC系统的计算器可以得到“π= 3.14...... 6939931148 ”（第41-50位应该是6939937510），从小数点后第47位开始就错了。

电脑计算器计算π-3.141…2795的值，在第47位时错误。

网上的π值就一定正确吗？它可能是正确的，也有可能手机计算器特地保留了π的很多位数，也许藏在哪里备用呢。

接下来，让我们算算——想必这个数是不会预存的。结果发现，两个计算器的表现还是不一样。仔细观察可以看出，两部计算器的第一次计算结果应是相同的：计算机的结果最后的4位数字是9871；而手机对应的位置是9870，其后面还有9个数字“892347382”。当用电脑计算器做减法后，得到的结果是“-1.076524...”，前面还有一个负号。考虑到负号，这两个计算结果一直到我们手机显示的倒数第三位，也就是3（手机计算）和4（电脑计算），这里确实有差别。我觉得，相比于电脑，我们还是相信手机好了，毕竟它给出的位数更多，而且计算的π值也跟网上的结果一样。

电脑计算器计算-12.767…781（的30位小数近似值）的结果。

手机计算器计算的结果，有39位小数。

最后，我们算一算。先把前面的公式再复习一遍：

我用手机自带的科学计算器做了几个不同的计算，分别是直接计算的值（用前文的方法）和用公式近似计算，结果如下：

①直接计算，得到18位整数和23位小数：最开始的12个小数都是9，第13个是2。

②计算公式的一级近似，也就是第一项的贡献。

③计算公式的二级近似，也就是前两项的贡献。

④计算公式的三级近似，也就是前三项的贡献。

⑤第二次直接计算，这次算的是减去18位整数和小数点后的12个9。

⑥第三次直接计算，这次算的是减去第一次直接计算得到的结果，也就是18位整数和小数点后的23位小数。

⑦第四次直接计算，减去第一次直接计算和第三次直接计算的结果，得到了小数点以后的99位小数。

简单分析可以得出：直接计算（①）最简单也最粗糙，但是已经得到了e、π和这三个无理数合作追求完整的全过程；公式没有告诉整数是多少（这个很容易算的），但是给出了更多更精确的小数位（②、③、④）；计算器比这个公式的前三项还要强大（⑤和⑥），甚至能够计算到小数点后99位（⑦）。用两种计算的结果（用公式计算和直接计算）符合得很好，因此我们相信手机计算的结果是正确的。

我也用电脑的计算器算过，虽然也能见证它们仨追求完整的过程，但是在小数点后几十的地方，仍然给出了不同的结果。

最后再谈谈这个公式。非常接近整数这件事，在一些讲计算数学的书里提到过，有时候用作例子说明计算的精度和稳定性。然而，关于它为什么这么接近整数，讲得就很少了。而且基本上都是先说，这个道理给普通人是讲不明白的，因为要涉及椭圆曲线、模形式以及其他一些理论。

我找到了一篇介绍性的文章^[1]，看得一头雾水，但也不是没有收获。除了找到前面用的那个公式以外，我还发现——可能大家也都知道——数学家的数学虽然很好，但是他们算术不一定强，经常会搞错个符号之类的。正如文中所示，作者在欢呼成功之前的最后两行公式中“196884”前面的符号不一样，肯定有一个是错的——而且我肯定，是最后那行里的错了。

“大行不拘细谨，大礼不辞小让。”连数学家都不免犯错，三个努力追求完整的无理数最后没有取得特别完满的结果，也就不那么令人意外了。

的各种近似值，最后一个有99位小数。

参考文献

[1] https://www.isibang.ac.in/~sury/episq163.pdf

本文受科普中国·星空计划项目扶持
出品：中国科协科普部
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