一个深刻问题：何为相等？

撰文 | 叶凌远

什么时候两个数学对象是相等的？这个问题并没有看起来那么平凡。事实上，数学上几乎所有的问题都是在询问两个数学对象是否相等。这篇文章显然并不是来解决某个实际的数学问题的，而是想跟大家探讨现代数学中“相等”这一概念的发展。

时间回溯到19世纪末，哲学家弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）认为，当我们写下一个等式A=B，A和B都是我们所想要表示的真实数学对象的记号，而相等指的是这两个名字所指代的真实数学对象之间是一致的。换句话说，相等关系是我们所使用的数学符号之间的一种关系，两个符号存在相等关系当且仅当它们指代的真实数学对象是一样的。按照这样的方式，我们很容易理解2+3=5这样的数学陈述。

然而，随着现代数学的发展，以这种方式理解的相等并不总是真实地反映数学家所关心的问题。最近十多年来，在一部分数学家和逻辑学家的引领下，我们有了对相等这一最基础概念的一次观念革新。就像牛顿和爱因斯坦对于物理学中最基础的引力以及时空概念的革新带来了全新的物理学一样，这篇文章想要谈谈对数学中相等这一概念的革新，如何能带来一种全新的数学。

范畴数

或许与哲学上的探讨不同，要想得到一个对现代数学有用的相等概念，我们始终应从所关心的数学问题出发，而不是预先确定一个相等的观念，然后期待所有的数学家在我们规定的这一套概念语言下来表述TA们的思想。而这一小节想要说明的是，针对不同的数学对象，我们所关心的相等问题可能是不同的。

一种对数学对象分类方式是所谓的范畴数。范畴数可以是从零到无穷的任意一个数字。范畴数的大小并不一定代表其内数学对象结构的复杂或丰富程度，而是代表我们对不同范畴数的数学对象所关心的相等问题是不太一样的。在下述叙述中，我们将称范畴数为n的对象为一个n-结构。

范畴数0

0-结构，即范畴数为0的数学对象，最为典型的例子是数，例如自然数、有理数、实数等等。对于两个数，或者说0-结构，它们之间的相等关系是我们熟悉的，即两个数是否一样。许多非常深刻的数学定理都关心的是两个数是否相等，而这也是我们接触到的数学中最为常见的相等概念。

范畴数1

随着现代数学的发展，我们不仅关心数，更关心更一般的数学结构，例如代数对象群、环、域；或是几何对象，如流形，等等。对于这类对象，数学家并不真的关心两个写下的群具体是否相等（一般意义上），而是它们之间是否存在同构。

某种意义上来说，最简单1-结构就是一个集合，它们可以看作是具有平凡结构的数学结构。对于集合而言，通常意义上人们关心的是两个集合是否同构，而并非关系两个集合是否具有完全相同的元素。例如，当我们说集合之间的笛卡尔积是交换且结合的，并不是说A×B真的和B×A相等，因为根据集合论的构造，这是两个不同的集合。然而，它们之间是同构的。

对于大多数的数学工作者而言，或许群的例子是更为熟悉的。考虑为两个元素集合的置换群。固定一个两个元素的集合，例如，按照定义，中的元素是到自身的双射，而群乘法是函数的复合。显然，只有两个元素，其中是上的恒等映射，将0和1分别映射到对方。

我们能以完全不一样的方式构造一个新的群。比如，考虑整数上的模运算。当我们把整数上的加法运算统统模掉2以后，就得到了一个新的加法群，通常记作。其内也有两个元素0,1，而其上的群乘法是模2之后的加法运算。

从现有的数学基础来看，这两个群并不相等。依照弗雷格的定义，这一陈述是错误的，因为构成它们的集合不是一样的。中的元素是两个函数，而中的两个元素是两个自然数。因此这显然是两个不同的群。

然而，我们不必真的区分这两个群。尽管它们的元素不同，但从直观上来说这两个群本质上是一样的。从群的角度来讲，这可以理解成它们所表示的抽象的对称关系是一致的：它们都是一个具有两个元素的群，其中一个元素为单位元，另一个元素是自身的逆。

用严格的数学语言来讲，我们可以写下一个与之间的群同构，即存在两个群同态，以及，使得它们互为对方的逆。换句话说，对1-结构而言，我们最关心的数学问题并不是这两个结构是否在弗雷格的意义上是相等的，而是关心它们之间是否是同构的。

范畴数 2

或许令人惊讶的是，数学的世界并不是只有范畴数为0或1的数学对象。对于长期接受经典数学训练的人，或许不太容易想象什么数学对象会比数学结构的范畴数还要高一阶。但我们可以通过递归的方式进行猜测。

最简单的1-结构就是集合，而一个集合是由一些0-结构，即元素构成的数学对象。那么可以推理，最简单的一类2-结构可被理解为某些1-结构构成的类，例如所有集合构成的类，所有群构成的类，所有流形构成的类，等等。这些对象通常被称作一个范畴。

更严格地说，一个范畴是由一类数学对象以及它们之间的映射构成的。集合的范畴中对象为集合，集合之间的映射为函数；群范畴中对象为群，群之间的映射则是群同态。那么什么是2-结构，即范畴之间的等价呢？为了表明回答这样的问题是有意义的，这里举一个学习线性代数的例子。

通常在大学学习线性代数时，我们首先学习的是有关矩阵的运算。矩阵是一些具体数字构成的方阵，而矩阵的运算（加法、乘法等）有非常具体的运算规则。而当我们更深入地学习线性代数时，我们会发现线性代数可以完全由一种抽象的数学语言表示：线性空间可以定义为其上具有某种运算的代数结构，而线性空间之间的线性映射可以定义为满足某些代数条件的函数。

初看起来，矩阵和线性空间之间并没有特别直接的关系。然而，任何学过线性代数的同学或多或少都会知道，对（有限维）线性空间而言，研究矩阵和研究抽象的线性空间是等价的。但通常这一陈述并不是以严格数学定理的方式出现在课堂上。一般而言，这只是在学习这两种表示之后得到的一种印象，即任何一个有关矩阵的问题都可以转化为一个有关线性空间的问题，而任何一个有关线性空间的问题也都可以转化为一个矩阵的问题，且在这些相互转化之中，得到的答案应该是一致的。

但是，这只是一种非严格的表述。有没有办法用严格的数学语言来说明这两种数学表述在某个严格意义上是等价的呢？注意，这种等价性直观上是某两个2-结构之间的等价性：我们在断言研究矩阵这类对象和研究有限维线性空间这类对象是等价的。因此，在接下来的一节我们将介绍范畴数为2，甚至更高维范畴数对象之间的等价性。

高阶范畴数对象之间的等价

由前所述，为了严格地叙述矩阵和线性空间的等价性，我们必须把它们实现为某两个范畴，这样它们之间的等价性也会被理解为两个范畴之间的等价。

为了方便，考虑实线性空间。我们很容易叙述有限维实线性空间构成的范畴是什么：其内的数学对象就是所有有限维的实线性空间，而两个有限维的实线性空间之间的映射就取为线性映射。对于实矩阵而言，我们将其构成的范畴记为，其内的对象为有限维的欧式空间，而从到的一个映射我们将其规定为一个的实矩阵，代表着从到的一个线性映射。

显然，，即是的一个子范畴，因为有限维的欧式空间是有限维的实线性空间，且矩阵所规定的映射也是线性映射。然而，如果我们按照理解1-结构之间相等的方式来看待这两个范畴，它们非常明显不是同构的。事实上，这个范畴中对象的个数是可数的，因为所有对象都是某个有限维的欧式空间。然而，中显然包含了不可数多个对象；事实上，中的对象都不构成一个集合，而是构成一个真类。因此，这两个范畴显然不可能是同构的。这表明2-结构之间的等价性并不能简单地理解为1-结构之间的等价性，正如1-结构之间的等价性并不能简单地理解为0-结构之间的等价性。

为了叙述什么是2-结构之间的等价性，我们重新来认识一下1-结构之间的等价性。最重要的观察是，1-结构的等价性某种意义上可以约化为0-结构之间的等价性。具体来说，考虑两个典型的1-结构，令为两个群。按照定义，两个群是同构的当且仅当存在群同态以及，使得对于任意中的元素，和a相等，且对于任意中的元素，和相等；换言之，互为对方的逆。注意，按照我们之前的理解，为两个1-结构，因此它们的元素均为0-结构，因此上面的定义事实上是把1-结构之间的相等转化为了0-结构之间的相等。

完全类似地，我们可以猜测什么是两个2-结构，即范畴之间的等价。如有两个范畴，它们之间是等价的当且仅当存在，以及，使得它们互为对方的逆。但此时，由于为两个2-结构，它们的元素是1-结构，根据1-结构之间的等价概念，这里的逆并不是说对任意，等于，而是说和是同构的。对于另外一边也是如此。

若将这一等价概念运用到线性代数的例子上，对于一边，我们显然已经有了，即将欧式空间以及它们之间的矩阵理解为实线性空间和它们之间的线性映射。我们同样也可以构造一个反过来的映射：对于每一个有限维的实线性空间，选取一组基，这样的一个选择给我们了一个从到的同构，其中是的维数；类似地，若对于我们都选取一组基，它们之间的一个线性映射则可以具体地用一个矩阵表示。换句话说，该映射G具体地描述了我们脑海中非严格的直觉：任何一个有限维线性空间之间的线性映射，可以通过选取基的形式由一个矩阵描述。

按照前文得到的2-结构之间的等价，我们可以验证上述构造的的确描述了这两个范畴和之间的等价性。然而，验证这一点是显然的。对于任何欧式空间显然有；此时它们甚至不仅仅是同构的，还是相等的，只是由于我们把它们看作1-结构，并不关心它们作为0-结构的相等性。对于另一边，给定一个n-维的实线性空间V，按照定义。此时，V和并不直接相等，但它们作为两个1-结构的确是同构的。因此，的确构成了这两个2-结构之间的等价。这样，我们就从数学上严格地描述了矩阵表示和抽象线性空间表示之间的等价性。

更一般地来讲，两个n+1-结构之间是等价的，当且仅当存在它们之间的映射以及，使得对于每一个中的结构，和作为两个n-结构之间是等价的；对于中的n-结构也类似。事实上，这一表述严格来说并不完全正确，但的确给我们提供了非常好的直观。

新数学中的等价性

现代数学的发展已经使得数学家们越来越意识到高阶数学对象以及它们之间的等价性是非常重要的数学概念，且对于理解复杂的低阶结构而言，有时研究高阶结构是必不可少的。碍于篇幅，这篇文章并不能对高阶结构在数学中的应用做很全面的介绍。但经过之前的阐述，我们至少能够理解对于不同的数学对象，数学家关心的等价形式是不同的。

某种意义上，这对于所谓的“数学基础”提出了新的挑战。毕竟，相等是一个如此基础的数学概念，但现有基于集合论的数学基础在处理高阶对象之间的相等上是非常繁琐的。如果想非常方便地使用高阶数学对象应用于之后的数学研究，显然我们需要有一种更直接地处理任意数学对象之间相等的方式。最近十年，一种由同伦论启发的数学基础发展的非常迅速，被称为Univalent Foundation[1]。这一新的数学基础有许多不同的特征，在这里简单介绍一下它如何处理数学对象之间的等价。

首先需要注意到，对于高阶的数学对象，严格来说相等不再是一个命题，而其自身具有某种结构。还是以 1-结构为例，我们不仅关心两个群是否相等，更关心它们之间所有群同构构成的结构；也就是说，我们通常关心的不单单是作为两个抽象的群是否是同构的，更关注某个具体写下的群同态是否是之间的一个同构。更高阶的对象也类似，我们真正关心的并不是作为两个抽象的范畴和之间是否是等价的，而是关心是否是一个范畴之间的等价。

正因如此，在Univalent Foundation这一新的数学基础中，若有两个数学对象，并不再是一个数学命题，而是一个新的数学对象，其自身仍具有某种结构。作为对比，在集合论中，若我们写下了两个集合，则是一个数学命题，其要么为真要么为假，它不再具有别的某种数学结构了。

这一新的数学基础有一条非常重要的公理，被称为univalence axiom[2]。令人惊讶的是，在这条公理下，所写下的相等结构能够自动地探测你写下的数学对象之间正确的等价关系。比如说，你在这一新的数学基础中定义了两个群，那么这一个新的数学对象会等价于之间所有同构构成的数学对象；如果你写下了两个范畴，那么这一数学对象自动地等价于两个范畴之间的等价所构成的数学结构。因此，在Univalent Foundation中，所有n-结构之间等价的定义由一个统一的相等构造所替代，这使得该数学基础有许多潜在的应用。

结语

当然，本文是介绍性质的，一部分细节要真的形式化为严格的数学内容需要更精准地表述。但是，希望这篇文章能让大家对数学中相等这一看起来非常平凡的概念有更多地思考，毕竟笔者相信，理论科学中真正的巨大的进步都是来自于观念的革新。这些工作或许不是技术上最令人叹服的工作，但必定是影响人类思想最深远的工作。